In questi giorni è alla ribalta un importante risultato che riguarda i numeri interi, in particolare i primi, cioè i numeri divisibili solo per se stessi e il numero 1. Si chiamano numeri interi gemelli quelli che hanno il successivo numero dispari che è ancora primo (ovviamente non i pari, che sono tutti divisibili per 2); ne sono degli esempi 5 e 7, 11 e 13 e così via. Insomma un numero primo gemello differisce da un altro numero primo di 2. La congettura, quello che si ipotizza, è che anche se i numeri primi man mano che i numeri diventano più grandi si diradano sempre di più, continuino ad apparire primi gemelli.
Euclide dimostrò duemila anni fa che i numeri primi sono infiniti, ma nessuno sino ad oggi è riuscito a trovare una formula per generarli tutti. Ed ogni tanto sui giornali compare la notizia che è stato trovato il più grande numero primo. Siamo oramai a 17 milioni di cifre, è stato individuato lo scorso febbraio (Vedi Galileo: Il più grande numero primo).
La congettura dei numeri primi gemelli
La congettura dei numeri primi gemelli fu formulata in forma attenuata nel 1849 da Alphonse de Polignac e consentiva che la differenza tra i due primi non fosse esattamente 2 ma anche un numero maggiore.
Ed ecco che nella storia irrompe un matematico cinese praticamente sconosciuto. Non ha mai ottenuto nella sua vita risultati di grande interesse, ha pubblicato pochissimo, ha un posto di lecturer, di docente non di ruolo in una università non prestigiosa negli Usa nel New Hampshire. Si chiama Zhang Yitang ed ha annunciato pochi giorni fa di aver dimostrato la congettura dei numeri primi gemelli con differenza tra loro al massimo di un numero N, che ha specificato in 70 milioni, un numero grande che pensa di poter ridurre ed arrivare sino addirittura a 2. Zhang ha scritto un articolo che è stato accettato per la pubblicazione da una delle riviste più importanti di matematica: gli Annals of Mathematics dell’Università e dell’Institute of Advanced Study di Princeton. All’istituto lavora da molti anni Enrico Bombieri, l’unico matematico italiano che ha vinto la medaglia Fields, il Nobel della matematica, per i risultati ottenuti in teoria dei numeri, tra cui alcuni utilizzati da Zhang.
Lo studioso a raccontato in un’intervista al The New York Times che aveva provato per molti anni a dimostrare la congettura dei primi gemelli ma aveva sempre fallito. Fino a quando lo scorso luglio “improvvisamente ho avuto un’idea. Ero sicuro che avrebbe funzionato”.
L’incredibile storia di Zhang, matematico che serviva fast food
Zhang, dopo una oscura carriere di matematico – e lavorando per alcuni anni anche alla catena di ristoranti fast food Subway Sandwich Shop, famosi per vendere il submarine sandwich: pane italiano riempito con carne, formaggio, verdure e salse – in modo del tutto autonomo e solitario, invia i suoi risultati alla prestigiosa rivista e il lavoro dopo attenta verifica da parte degli specialisti verrà tra qualche mese pubblicato. I risultati sono ritenuti validi. Peter Sarnak, professore all’Institute of Advanced Study, ha affermato che si tratta di un risultato molto profondo.
Più vicini alla vera congettura dei numeri primi gemelli
Sembrerebbe un risultato poco interessante, in realtà apre la strada ad avvicinarsi alla vera congettura dei numeri primi gemelli, ad affermare che sono infiniti, e quindi riuscire forse a provare il teorema fondamentale di come ottenere tutti i numeri primi. Questioni non solo per matematici ma che riguardano la vita di tutti. I codici di sicurezza, segreti e criptati, così importanti nel mondo del web, utilizzano la teoria dei numeri e i numeri primi.
L’oscuro matematico cinese è destinato ad un brillante futuro, chi ha letto l’articolo ha affermato che alle conoscenze dei grandi matematici che lo hanno preceduto nello studio del problema ha aggiunto una certa dote di freschezza ed ingenuità che aveva impedito a tanti matematici più famosi di lui di arrivare a questo primo risultato.
Credits immagine: designwallah/Flickr
Leggi anche l’aggiornamento: I numeri primi non sono poi così soli (26 Novembre 2013)
Dal crivello di Eratostene al crivello dell’ingegnere
Fra i tanti argomenti matematici che hanno affascinato e contagiato non solo le menti matematiche più belle e più acute, dal ‘600 in poi, portando a risultati quasi sempre modesti o soltanto parziali, ma anche scrittori, registi e produttori, vi è quello dei numeri primi.
“Non c’è nessun motivo evidente per cui un numero debba essere primo e un altro no” dice un eminente matematico tedesco contemporaneo, grande esperto della teoria dei numeri.
L’importanza di questi numeri non si limita ad un puro fatto astratto: la loro ricerca si è trasformata da gioco disinteressato a seria operazione commerciale; se un numero è grande, anzi grandissimo, un computer può impiegare anni a scoprire se si tratta di un numero primo.
In America, i numeri primi vengono considerati materiale militare, perché sono alla base della crittografia moderna, e se per caso se ne scopre uno con più di 100 cifre bisogna informare la Cia che paga 10.000 dollari per averlo.
La consapevolezza della differenza tra numeri primi e composti è documentata nel papiro di Rhind, famoso documento, di argomento matematico, scritto in ieratico risalente al 1650 a.C., ma ci sono anche prove del fatto che prima del 1000 a.C. in Cina si era elaborato un metodo fisico per comprendere cosa rende i primi, tra tutti i numeri, particolari: “se prendete 15 fagioli li potete disporre in un perfetto rettangolo composto da tre file di cinque righe o viceversa; se prendete 19 fagioli,l’unico rettangolo che potete costruire è quello formato da una sola riga o da una sola fila di 19 fagioli.
Il matematico e geografo greco Eratostene III sec. a.C. ha fornito il metodo per determinare questi numeri; metodo semplice ma al contempo complicato man mano che i numeri diventano sempre più grandi.
Da circa 2300 anni il crivello di Eratostene è stato l’unico strumento per trovare l’elenco dei numeri primi, che sembra disordinato, casuale, e non fornisce alcun indizio riguardo il modo di prevedere il prossimo elemento della lista, tanto da fare asserire ad Eulero che li studiò intensamente (intorno al 1750) che: “I matematici hanno cercato, fin qui invano, di scoprire un ordine qualunque nella successione dei numeri primi, e si è portati a credere che questo è un mistero che lo spirito umano non riuscirà mai a penetrare”.
La notizia:
Mentre i fisici sono alla ricerca della teoria del tutto: tutto spiegato da una singola formula; e i matematici non riescono ancora a dimostrare la congettura di Riemann, stabilire cioè una regola matematica che dimostri la logica nella distribuzione dei numeri primi, nella terra di Archimede un ingegnere ritiene di averla identificata, in maniera molto elementare.
La scoperta non consiste nell’avere trovato una formula o un’equazione capace di generare tutti i numeri primi e/o determinare la loro posizione (cardinalità) , ma un crivello molto più potente di quello di Eratostene che ha chiamato il crivello dell’ingegnere.
Detto crivello consiste nello scrivere tutti i numeri interi in successione in una tabella le cui colonne ne contengono trenta; nelle 15 colonne pari (2, 4 ……,30) si scorgono tutti i numeri pari (8/30=50%); tra le 15 colonne dispari si individuano: quattro colonne (3a,9a,21a,27) dove sono sistemati i composti del 3 (4/30=13,33%); tre colonne (5a,15a,25a) dove sono distribuiti i composti del 5 (3/30=10,00%); otto colonne (7a,11a,13a,17a,19a,23a,29a, dove si dispongono tutti i numeri primi ed i loro composti (8/30=26,67%), ad eccezione del 2, del 3 e del 5. (vedi tabella dei numeri naturali)
L’algoritmo consente di trovare in maniera semplice i numeri composti che stanno sulle otto colonne e quindi, per esclusione ottenere i primi.
Gli elementi costituenti ciascuna colonna sono in progressione aritmetica di ragione 30 e quindi coprimi.
Queste otto colonne possono essere scritte sotto forma di progressioni aritmetiche del tipo 7+30k, in perfetta linea con il teorema di Dirichlet che afferma che una progressione aritmetica contiene infiniti numeri primi se e solo se la sua ragione e il suo primo valore sono coprimi (due numeri si dicono coprimi se non hanno fattori comuni); l’aritmetica dei Sumeri (IV sec. a.C.) aveva due cardini: il 10=2+3+5 e il 30=2*3*5.
Non è insolito che metodi tecnicamente elementari si dimostrino più incisivi di quelli complessi e di ogni più ottimistica aspettativa.
L’interpretazione geometrica del crivello dell’ingegnere, che è di tipo algebrico, è stata rintracciata nel crivello visivo, di tipo geometrico, creato dai matematici russi Matiyasevic e Stechkin.(vedi figura allegata).
La distribuzione dei numeri primi, ritenuta formalmente random non è affatto casuale: i numeri di base, i mattoni con cui si possono formare tutti gli altri non potevano avere una distribuzione casuale.
Se qualche matematico riuscirà a trovare da questi semplici elementi una luce inaspettata, idonea per comprovare la famosa congettura di Riemann, si celebrerà l’apoteosi della Matematica.
Sono molti gli studiosi che esprimono il desiderio di vivere abbastanza per assaporare la vera essenza delle discipline scientifiche.
Biagio Piazza
p.s. Se interessati allego tavole e libro in pdf
Il crivello propposto da Biagio Piazza mette in luce come tutti i numeri primi si trovi all’interno di progressioni aritmetice del
tipo n+30k.Se infatti costruiamo una progressione per ogn’una
delle otto colonne considerate in esse troviamo tutti i numeri primi.
Se invece costruiamo due colonne :una con i numeri 6n-1 e una con i numeri 6n+1 oltre a contenere tutti i numeri primi esse meteranno in evvidenza come i primi presentino infinite possibilità di essere anche gemelli.Se i numeri primi della forma 6n+1 sono infiniti devono esserlo anche i primi della forma 6n-1 e poiche essi identificano la generica coppia di gemelli si deve concludere che i gemelli sono infiniti.
Il lavoro di Zhang è da ritenersi valido relativamente al più grande numero primo che si conosce, ma esso è destinato ad aumentare con l’aumentare della conoscenza dei numeri primi.
Se k è uguale a 70.000.000 è anche vero che sono infinite le coppie di numeri primi con k = 2 essendo infinite le coppie di dispari e di primi che si trovano tra due multipli dispari di 3.
I dispari sono infiniti
I numeri primi sono infiniti
Il teorema di Diriclet
Il teorema di Erdos-Selberg
La matematica modulare applicata ai multipli dispari di tre
possono bastare per una dimostrazione di quanto sintetizzato.