Dimostrata la congettura abc

Si chiama Abc. Nonostante la semplicità del nome, che evoca i rudimenti più elementari del sapere, si tratta di una delle congetture matematiche più dure da dimostrare, contro la quale si sono accaniti gli sforzi dei più brillanti matematici del mondo. Proprio come il più famoso teorema di Fermat, formulato nel 1637 e risolto da Andrew Wiles quasi quattro secoli dopo. Oggi, il matematico giapponese Shinichi Mochizuki, dell’ Università di Kyoto, ha pubblicato un articolo (sarebbe meglio definirlo tomo, date le 500 pagine di lunghezza) in cui propone una dimostrazione per la congettura.

Proviamo a ricapitolare in poche righe come stanno le cose. La congettura Abc, proposta indipendentemente da David Masser e Joseph Oesterlé nel 1985, fa parte dei cosiddetti problemi diofantei, cioè la classe di equazioni in una o più incognite con coefficienti interi di cui si ricercano soluzioni anch’esse intere (anche il teorema di Fermat appartiene a questa categoria). L’ Abc si riferisce a equazioni nella forma a+b=c, con a, b, c interi e privi di fattori comuni diversi tra loro.

Detto d il prodotto dei fattori primi di a, b e c, la congettura afferma che raramente d è più piccolo di c. Raramente: un termine apparentemente improprio rispetto al rigore matematico; in realtà, vuol dire che esiste solo un numero finito di casi in cui la congettura non è vera. “L’Abc, in qualche senso, descrive la relazione tra addizione e moltiplicazione”, spiega Jordan Ellenberg dell’ Università del Wisconsin-Madison,  “e imparare qualcosa su questo argomento ai giorni d’oggi è parecchio sorprendente”.

La comunità matematica è interessatissima al lavoro di Mochizuki: “Se fosse giusto, sarebbero risolti in un sol colpo molti problemi diofantei”, afferma Dorian Goldfeld, della Columbia University di New York:  “Si tratterebbe di uno dei risultati più sbalorditivi della matematica del ventunesimo secolo”. Finora, infatti, sono tanti gli scienziati che hanno cercato invano di provare la congettura: tra loro, lo stesso Andrew Wiles. Come i suoi colleghi, Mochizuki ha attaccato il problema usando la teoria delle curve ellittiche, ossia le curve generate da relazioni algebriche del tipo y ²=x ³+ax+b.

Tuttavia, il giapponese ha poi deviato rispetto ai lavori precedenti, sviluppando un impianto matematico che a tutt’oggi solo pochi altri scienziati nel mondo riescono a comprendere. Le tecniche di Mochizuki si appellano a nuovi oggetti, entità matematiche astratte analoghe, per esempio, a insiemi, permutazioni e matrici. “A questo punto, probabilmente lui è l’unico al mondo a conoscerle del tutto”, continua Goldfeld.

Secondo Brian Conrad dell’ Università di Stanford, “Ci vorrà molto tempo prima che la comunità scientifica riesca a digerire le nuove nozioni presenti nel lavoro di Mochizuki. La disponibilità dei matematici a investire del tempo nella comprensione di una dimostrazione così lunga e sofisticata dipende anche dal curriculum dell’autore”. A guardare la lista delle pubblicazioni di Mochizuki, il gioco sembra valere la candela: “Ha già provato teoremi estremamente complessi in passato, ed è molto approfondito nei suoi lavori, quindi merita la nostra fiducia”, continua Conrad.

La motivazione in più viene dal fatto che il lavoro del giapponese, oltre a dimostrare la congettura, potrebbe spianare la strada per lo sviluppo di una nuova branca della matematica: “Se verificate, le tecniche di Mochizuki potranno essere la chiave per la risoluzione di altri problemi”, conclude Conrad. Altro che abbiccì.

via Wired.it

Credits immagine: chrisinplymouth/Flickr