Fibonacci, sezione aurea. Un eterno ritorno

Leonardo Fibonacci, detto anche Leonardo Pisano, ha un ruolo importante nella storia della civiltà occidentale. Nel 1202 Fibonacci compone il Liber abaci, il libro dell’abaco. Negli anni intorno al 1185 il padre Guglielmo era pubblico scrivano della Repubblica di Pisa presso la dogana di Bugia, tra le attuali Algeri e Tunisi, un importante porto commerciale dell’Africa settentrionale.

Guglielmo decise di chiamare a sé il figlio Leonardo, ancora ragazzo, per completare la sua educazione. In particolare per studiare l’abaco, termine con il quale erano indicati sia uno strumento a tavoletta per eseguire le operazioni aritmetiche, sia il complesso delle tecniche commerciali. Nella scuola di Bugia Leonardo venne a conoscenza del sistema posizionale usato dagli arabi per scrivere i numeri. Fibonacci si convinse presto che il metodo dei numeri indiani con la scrittura posizionata era molto più efficace di quello in uso in Europa all’epoca.

E i numeri di Fibonacci? Tra i tanti problemi che si trovano nel Liber abaci uno è diventato molto famoso: il problema dell’allevamento dei conigli. Si ha una coppia di conigli e ci si chiede “quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinantur” (“quante coppie di conigli saranno prodotte in un anno da una coppia di conigli”). La regola è che ogni mese la coppia originaria genera una nuova coppia.

Da una, quindi, dopo un mese se ne ha un’altra, da 1 a 2, dopo un altro mese un’altra coppia (la seconda non è ancora fertile), quindi 3, poi al terzo mese altre due coppie generate, quindi 5 e così via. Si arriva alla successione di numeri 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e così via sino all’infinito. I numeri di Fibonacci, appunto. Se si considera il tasso di crescita dell’allevamento dei conigli, il rapporto cioè tra un numero di Fibonacci e il precedente, ci si avvicina a un numero che ha avuto una straordinaria importanza nella storia dell’arte classica e non solo: quel numero noto con il nome di proporzione aurea. Numero non razionale, non esprimibile cioè come rapporto tra due numeri razionali, come frazione, né come numero decimale periodico.

La scoperta che esistono numeri di questo tipo – che anzi quasi tutti i numeri che conosciamo sono di questo tipo – causò una vera crisi ai filosofi e matematici greci. Non vi è dubbio che la cosa è molto curiosa: il tasso di crescita di un allevamento di conigli tende a un numero che non è razionale! Ed in più ad un numero straordinariamente importante per la cultura greca e non solo. Numero che si indica con il simbolo phi, come è il caso di π, altro numero irrazionale. La lettera greca phi per ricordare le iniziale dello sculture greco Fidia.

Fu Leonardo da Vinci (1452 – 1519) il primo ad accorgersi della curiosa preferenza per particolari numeri e geometrie spirali nella fillotassi, nella sistemazione delle foglie sui rami. “Ha messo la natura la foglia degli ultimi rami di molte piante, che sempre la sesta foglia è sopra la prima e così segue successivamente se la regola non è impedita”. La parola fillotassi deriva dal greco fillon, foglia, e taxis, disposizione. Si tratta di considerare le disposizioni delle foglie, dei rami, dei fiori, nelle piante per riconoscere che vi sono delle regolarità che si ripetono. È probabilmente D’Arcy Thompson, (1860–1948) l’autore del famoso libro On growth and Form (1917) il primo a mettere in relazione le strutture geometriche della fillotassi con i numeri di Fibonacci e le spirali. Tipi di spirali che si possono costruire a partire dai numeri di Fibonacci, fatto che aveva affascinato l’artista Mario Merz, che di spirali e numeri di Fibonacci ha fatto la base delle sue opere più note.

Le foglie sono disposte secondo una spirale che gira attorno al fusto e le foglie sono allineate in file verticali in modo tale che partendo da una foglia qualunque dopo un certo numero di giri della spirale si trova sempre una foglia sovrapposta alla prima. Fenomeno che si misura mediante l’angolo di divergenza che misura la distanza angolare tra due foglie consecutive, angolo che si esprime con frazioni della circonferenza: e si arriva così alla serie

1/2, 1/3, 5/5, 3/8, 5/13, 8/21 …

dove si riconoscono i numeri di Fibonacci. E così il numero di spirali che si riconoscono nella disposizione dei semi di un girasole o su di un ananas sono sempre numeri di Fibonacci. Ovviamente l’osservare questo fenomeno, che non riguarda ovviamente tutte le piante, non spiega perché il fenomeno si presenti.

In tanti hanno cercato per molti anni una spiegazione di questo fenomeno.

Uno dei risultati più interessanti ottenuti è quello dei due matematici francesi Stephan Douady e Yves Couder che in un articolo del 1992, Phyllotaxis as a Physical Self-Organized Growth (Process Physical Review Letters 68, no.13 pp. 2098-101) hanno ricondotto la numerologia di Fibonacci a costrizioni dinamiche naturali nello sviluppo delle piante. Ottenendo anche l’angolo di deviazione di una foglia rispetto alla precedente dell’ordine dell’angolo aureo di 137,5 gradi. Non quindi fattori genetici all’origine del fenomeno.

Ed ecco un recentissimo risultato, che vuole rimettere in ambito biologico la risposta al legame tra i numeri di Fibonacci, l’angolo aureo e la fillotassi: un ormone, che si chiama auxina che governa la crescita delle foglie, dei fiori e di altri organi delle piante. Tramite un modello matematico che descrive come l’auxina ed altre proteine si distribuiscono all’interno delle piante i ricercatori possono predire i pattern che si generano che riproducono esattamente le spirali di Fibonacci nei girasoli e quindi si può pensare che il legame tra questi pattern e i numeri di Fibonacci sia molto più universale di quello che si pensava.

E ritorna sempre in mente la famosa frase sulla “irragionevole utilità della matematica”. Si scoprono le strutture matematiche nella natura o i ricercatori tendono a sovrapporre alla nature le loro invenzioni? Siamo platonici o no? Fortunatamente la risposta definitiva non ci sarà mai e la ricerca continuerà sempre, non solo ovviamente sui numeri di Fibonacci.

Credits immagine: KIUKO/Flickr