Michael Atiyah ha davvero dimostrato l’ipotesi di Riemann?

Un titolo di appena quattro parole, L’ipotesi di Riemann, e un abstract altrettanto lapidario: “L’ipotesi di Riemann è un famoso problema irrisolto postulato nel 1859. Ne presenterò una semplice dimostrazione, ottenuta utilizzando un approccio radicalmente diverso. Si basa sui lavori di von Neumann (1936), Hirzebruch (1954) e Dirac (1928)”. Parole che ai profani non dicono niente, ma che per la comunità matematica suonano come una cannonata. Perché l’ipotesi, o congettura, di Riemann è uno dei problemi matematici più difficili al mondo, che aspetta una dimostrazione da circa 160 anni. Uno scoglio contro il quale si sono infranti, rompendosi la testa, centinaia di ricercatori in tutto il mondo. Tanto che è stata inserita nei cosiddetti Millennium Problems, un insieme di sette quesiti matematici la cui soluzione vale un milione di dollari (ciascuno) gentilmente offerti dal Clay Mathematics Institute.

A sostenere di aver appena dimostrato la congettura, mettendo così una zampa sul malloppone, è stato sir Michael Atiyah, matematico britannico novantenne di altissimo spessore accademico (Medaglia Fields nel 1966; Medaglia Royal nel 1968; Medaglia De Morgan nel 1968; Medaglia Copley del 1988; Premio Abel nel 2004. Se fosse esistito il Nobel per la matematica, avrebbe sicuro vinto pure quello). Dal palco dello Heidelberg Laureate Forum, un importante convegno di scienziati in Germania, ha raccontato in poco meno di un’ora come, partendo dallo studio della costante di struttura fine (un parametro fisico che mette in relazione le principali costanti dell’elettromagnetismo) sia riuscito, quasi incidentalmente, a dimostrare “in modo molto semplice” la famosa congettura di Riemann. L’intera conferenza di Atiyah è visibile qui; di seguito l’estratto più saliente.

Cos’è l’ipotesi di Riemann
Mettiamo un po’ d’ordine. Storicamente, la congettura è apparsa per la prima volta nel 1859 in un articolo che il matematico Georg Frederich Bernhard Riemann scrisse in occasione della sua nomina a membro corrispondente dell’Accademia prussiana delle scienze. Raccontare in poche parole un problema matematico irrisolto da quasi due secoli, com’è facile immaginare, è tutt’altro che semplice: ha provato a farlo Alessandro Zaccagnini, docente di analisi matematica all’Università di Parma, sulle pagine del portale specializzato Maddmaths. “La prima formulazione della congettura”, spiega Zaccagnini, “riguarda la distribuzione degli zeri di una funzione di una variabile ‘complessa’ detta zeta e che ormai ha preso il nome dallo stesso Riemann”. Lo zero di una funzione, in generale, è il valore della variabile indipendente per cui la variabile dipendente è uguale a zero. Riemann si rese conto che la distribuzione degli zeri di una funzione complessa aveva un ruolo molto importante nella matematica: “La funzione zeta ha un collegamento molto stretto con la distribuzione dei numeri primi e, in particolare, la posizione dei suoi zeri è legata alla possibilità di contarli in modo accurato. Dal punto di vista geometrico, possiamo esprimere la congettura di Riemann dicendo che gli zeri della funzione zeta si trovano confinati su due rette nel piano complesso”. In parole più semplici (e certamente meno tecniche, non ce ne vogliano i matematici): secondo l’ipotesi di Riemann, gli zeri della funzione di Riemann sono distribuiti esattamente in un certo modo nell’insieme dei numeri complessi.

Chi è Michael Atiyah
Dei riconoscimenti collezionati da Atiyah abbiamo già detto; ora qualche nota in più sulla sua vita e sui suoi lavori. Mezzo scozzese e mezzo libanese, Atiyah è stato fondatore, assieme al collega Frederich Hirzebruch, della cosiddetta K-teoria topologica, un apparato matematico che descrive come alterare uno spazio a più dimensioni; ha poi lavorato alle soluzioni di alcune equazioni differenziali, formulando un teorema (l’indice di Atiyah-Singer) che permette di contare il numero di tali soluzioni; infine, più di recente, si è dedicato alla fisica teorica, applicandosi allo studio di entità esotiche come gli istantoni. Lavori certamente importanti, ma che passerebbero del tutto in secondo piano nel caso fosse confermato che Atiyah ha per davvero dimostrato la congettura di Riemann.

Con i piedi di piombo
“Parliamo di qualcosa di veramente molto grosso, per la comunità dei matematici”, ci ha raccontato Zaccagnini. “La dimostrazione della congettura di Riemann avrebbe lo stesso valore che ha avuto quella dell’ultimo teorema di Fermat, per intenderci. È un problema aperto da oltre un secolo, che avrebbe conseguenze molto importanti nella matematica. Diversi altri teoremi, per esempio, sono formulati in due enunciati diversi: uno condizionato all’ipotesi di Riemann e uno senza la stessa ipotesi. Il secondo enunciato è molto più debole: se la congettura di Riemann fosse dimostrata, potremmo automaticamente dare per vero l’enunciato più forte di tali teoremi”.

Ma attenzione. In questo caso, ancor più che in altri, è assolutamente necessario usare il condizionale. I motivi di tanta cautela sono molteplici: “Al momento non ci si può sbilanciare in alcun modo”, sottolinea il matematico. “Atiyah ha pubblicato un abstract di cinque pagine. Solo una è dedicata alla dimostrazione della congettura di Riemann. La vera dimostrazione, con ogni probabilità, occuperà centinaia di pagine”. Al solito: bisogna aspettare che la presunta dimostrazione sia sottoposta al processo di revisione dei pari (che certamente in questo caso sarà attentissimo) e quindi pubblicata. Neanche questo basterà per mettere le mani sul milione di dollari – che, per inciso, Atiyah ha detto di meritare –, dal momento che il Clay Institute paga solo due anni dopo la pubblicazione. Insomma: non ci resta che attendere.

Via: Wired.it