A prova di Riemann

Lo scorso 8 giugno Louis De Branges, matematico francese della Purdue University nell’Indiana (Usa), ha dichiarato di essere riuscito a dimostrare la congettura di Riemann, uno dei più grandi problemi matematici ancora insoluti. La dimostrazione di De Branges è on-line, sul suo sito universitario. Sono 124 pagine che aspettano di essere lette da esperti di teoria dei numeri, branca per eccellenza della matematica pura. Se la prova fosse esatta, a De Branges spetterebbe un premio da un milione di dollari, stanziato nel 2000 dal Clay Mathematics Institute di Cambridge, che intende promuovere e diffondere la cultura matematica. Tuttavia l’insolita pubblicazione, che non è passata per i tradizionali controlli di peer-review, lascia scettica gran parte della comunità scientifica. De Branges, infatti, ha già sostenuto svariate volte di avere in mano la soluzione del problema. Puntualmente è stato poi smentito: la dimostrazione era fallace e andava rifatta.E se stavolta fosse quella giusta? “Potrebbe essere, così come no”, ha dichiarato al New Scientist Harry Dym del Weizmann Institute di Israele. “Il problema è che la frequenza con cui De Branges ha sfornato risultati intorno a questa congettura ha generato una certa avversione nelle persone che dovrebbero spendere il loro tempo a controllarne l’ennesimo”. Accanto a tante prove sbagliate, De Branges può però vantare di essere riuscito, circa vent’anni fa, a dimostrare correttamente la Congettura di Bieberbach, altro annoso problema di matematica riguardante la teoria delle funzioni complesse. Ma sono ormai anni che dedica il suo tempo e lavoro al problema posto nel 1859 dal matematico tedesco Bernhard Riemann, uno dei pilastri delle geometrie non euclidee. La congettura riguarda il comportamento analitico di una funzione, nota come la “Zeta di Riemann”. Le soluzioni non banali della Zeta, ovvero i punti del piano complesso in cui la funzione si annulla, sembrerebbero tutte giacere su una linea retta e distribuirsi in un modo ordinato. La congettura di Riemann consiste proprio nell’affermare che questo vale per tutte le infinite soluzioni non banali della funzione Zeta. Ma va dimostrato e nessuno, da oltre un secolo e mezzo, c’è ancora riuscito.L’implicazione principale dell’ipotesi di Riemann riguarda la distribuzione dei numeri primi, quelli divisibili solo per uno e per se stessi, tra gli altri numeri naturali. L’importanza di questa dimostrazione, in ogni caso, va ben oltre la conoscenza della distribuzione dei numeri primi e delle ricadute che hanno nell’informatica e nella crittografia. “Moltissimi risultati in matematica pura”, spiega Bertrand Lemaire, ricercatore francese dell’Università di Orsay, “si basano su questa congettura. Un solo controesempio avrebbe gravissime conseguenze, perché una grande fetta di lavori si regge sull’assunzione che sia vera”. Curiosamente, il premio da un milione di dollari del Clay Mathematics Institute è destinato solo a colui che riuscirà a dimostrare che la congettura di Riemann è vera, e non falsa, anche se la difficoltà è la stessa.La congettura, in effetti, è stata verificata con i calcolatori per un gran numero di valori. Quasi dieci miliardi di soluzioni della Zeta hanno seguito il comportamento previsto da Riemann. Dieci miliardi, però, può essere un numero piccolo se comparato con l’infinito. “Per un fisico”, scherza Lemaire, “le prove dei calcolatori sarebbero empiricamente sufficienti, ma in matematica non funziona così. C’è bisogno di una prova formale”. Una prova da un milione di dollari.