Sulle orme del caos

Gian Italo Bischi, Rosa Carini, Laura Gardini, Paolo Tenti

Sulle orme del caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici

Bruno Mondadori, 2004

pp. 256, euro 19,00

È possibile governare il caos? Come comprendere i meccanismi che sono alla base dei fenomeni caotici che regolano l’andamento dei mercati finanziari o lo sviluppo di un determinato ecosistema? La scoperta che esiste una sorta di ripetitività implicita in questo tipo di manifestazioni ha permesso l’affermarsi del concetto di caos deterministico e della teoria dei sistemi dinamici che ne consente l’analisi. Infatti, nonostante possa sembrare poco convincente associare alla parola “caos” l’aggettivo “deterministico”, gli autori di questo volume ci conducono con semplici modelli matematici non lineari, composti da funzioni algebriche di secondo o terzo grado, nell’ambiente di sistemi reali che si evolvono nel tempo secondo una certa regolarità. Il mondo che abbiamo sotto i nostri occhi è un intreccio complesso di relazioni tra agenti e la matematica rappresenta il mezzo con cui è possibile spiegare i fenomeni naturali che ci circondano e che spesso sfuggono a osservazioni lineari. Se per esempio si può studiare con facilità il moto uniforme, ma molto poco reale, di un corpo, più complesso risulta analizzare il suo moto discontinuo su cui intervengono fattori diversi come l’attrito dell’aria. Certo anche il modello matematico più preciso non può dare la spiegazione degli aspetti irrazionali che spesso regolano lo sviluppo e il comportamento di una società come il gusto, le mode o la paura. Ma è questa l’unica avvertenza con cui si deve affrontare la lettura di questo testo il cui scopo principale è di presentare al lettore le proprietà matematiche elementari che stanno alla base dei modelli dinamici deterministici che generano sequenze caotiche. Fu Galileo a introdurre il linguaggio matematico come l’unico in grado di decifrare il complicato codice con cui era scritto quello che egli definì il “libro della Natura”. Dal Seicento in poi la matematica ha quindi iniziato a configurarsi come lo strumento attraverso cui osservare e spiegare i fenomeni naturali e le loro dinamiche. Secondo il principio meccanicistico venutosi a formare dall’osservazione empirica, avendo a disposizione i valori delle variabili di uno stato in un certo istante, il modello permetteva di calcolare in modo univoco lo stato del sistema all’istante successivo.Tuttavia nel corso dei quattro secoli che ci separano dalle scoperte dello scienziato pisano, la nostra stessa percezione della natura si è notevolmente trasformata. All’inizio del Novecento i fisici e i matematici furono infatti scossi dalle affermazioni del filosofo e matematico francese Jules-Henri Poincarè secondo cui anche una piccola variazione dei parametri del sistema nella condizione iniziale avrebbe comportato enormi cambiamenti su tutta l’evoluzione del sistema stesso. Studiando le traiettorie di tre corpi celesti – Sole, Terra, Luna – si accorse che esse generavano un’equazione non lineare; le curve che Poincarè poteva solo immaginare producevano una serie di infinite intersezioni dando una maglia di reti il cui stato nel momento successivo era impossibile da prevedere. Era il primo incontro con il caos; i sistemi caotici così individuati avevano mostrato una sensibilità alle condizioni iniziali tale da annullare il postulato meccanicistico che ne consentiva di studiare l’evoluzione temporale. Il modello causa-effetto, che poteva fornirci soluzioni esatte solo per quei pochi fenomeni semplici e uniformi, non era dunque più rappresentativo di una natura che offriva ora una realtà non lineare costituita da una rete indefinita di relazioni e intersezioni. Le tecniche matematiche che negli ultimi tre decenni hanno permesso ai ricercatori di scoprire schemi ordinati in sistemi caotici si basano proprio sull’intuizione di Poincarè e sono direttamente legate allo sviluppo dei computer. Grazie allo sviluppo dei calcolatori elettronici è stato quindi possibile rappresentare i complessi modelli che gli autori di questo volume ci aiutano a comprendere meglio attraverso un percorso che partendo dai modelli lineari più semplici giunge a quelli più complessi che oggi trovano numerose applicazioni nelle più diverse discipline come la fisica, la biologia o l’economia ma anche la sociologia e la storia.Nel libro, chiaramente di carattere divulgativo, vengono esposti principi matematici come iterazione, biforcazione e punto di svolta, fondamentali a uno studio sui fenomeni caotici. Infatti, semplici esempi di iterazione di funzioni algebriche di secondo grado, come quelle che si incontrano sui banchi di scuola, permettono di osservare eventi tipici del caos. In questo modo viene dunque fatta giustizia circa l’ipotesi che la teoria del caos non possa dare previsioni, anche se esse riguardano più gli aspetti qualitativi del comportamento di un sistema che i suoi valori precisi. La matematica della complessità è rappresentata come un’importante intuizione nella scienza del XX secolo, consentendo di sostituire un’analisi qualitativa a una quantitativa più capace di descrivere le relazioni e le configurazioni (pattern) dei sistemi, spostando il paradigma scientifico dagli oggetti alle relazioni. Per chi volesse infine cimentarsi con applicazioni pratiche di sistemi caotici il sito della casa editrice (http://www.brunomondadori.com/sulleormedelcaos) offre una serie di link a programmi di Excel e Visual Basic con cui il lettore potrà eseguire direttamente gli esperimenti suggeriti dal testo.