La nozione di dimostrazione attuale deriva da quella introdotta originariamente da Aristotele e modificata sostanzialmente da Pascal soprattutto per quanto riguarda il ruolo delle definizioni.
Secondo Pascal lo scopo della dimostrazione è quello di stabilire le verità in modo tale che la loro dimostrazione risulti invincibile. Pascal caratterizza la nozione di dimostrazione nel modo seguente. Noi non possiamo definire tutto e dimostrare tutto, ma procedendoa ritroso arriviamo necessariamente a certi termini primitivi così chiari da essere indefinibili e a certi principi così evidenti da essere indimostrabili. Questo significa che la dimostrazione deve basarsi sul metodo assiomatico, un metodo che non richiede di definire tutto e dimostrare tutto né di non definire nulla e non dimostrare nulla, masegue la via intermedia di non definire le cose chiare e comprese da tutti e di definire tutte le altre; e di non dimostrare le cose evidenti e note atutti e di dimostrare tutte le altre.
Se le verità matematiche devono essere dimostrate in modo tale che la loro dimostrazione risulti invincibile, allora i termini primitivi e i principi primitivi devono essere pienamente assicurati, perché se non garantiamo le fondamenta non possiamo essere sicuri dell’edificio. Ma come possiamo assicurare le fondamenta? Secondo Pascal, non col ragionamento, che permette solo di definire termini a partire da altri già definiti e di dimostrare verità a partire da altre già dimostrate. La certezza dei termini primitivi e dei principi primitivi può essere assicurata solo se essa viene vista direttamente, a colpo d’occhio, e non attraverso un processo di ragionamento. Questa percezione istantanea dei termini primitivi e dei principi primitivi è data dall’intuizione. Solo attraverso essa noi conosciamo i termini primitivi e i principi primitivi mentre il ragionamento non vi svolge alcun ruolo.
D’altra parte, i termini derivati e le proposizioni derivate sono conosciute per mezzo del ragionamento. In particolare i termini derivati siottengono da quelli primitivi mediante definizioni nominali la cui funzioneè quella di abbreviare il ragionamento, esprimendo col nome imposto ciò che potrebbe essere detto solo con parecchie parole. Le proposizioni derivate si ottengono da quelle primitive attraverso deduzioni in cui si usano solo assiomi ovviamente autoevidenti o proposizioni già dimostrate o accettate. La necessità del ragionamento è dovuta ai limiti della nostra mente. Idealmente vorremmo conoscere tutto attraverso l’intuizione, ma la natura ci ha negato questo beneficio; al contrario, essa ci ha dato ben poco di questo tipo di conoscenza. Perciò a parte i termini primitivi e i principi primitivi, tutti gli altri possono essere ottenuti solo attraverso il ragionamento.
La concezione di Pascal della dimostrazione e del metodo matematico è stata adottata da Frege e dalla logica matematica ed è divenuta la nozione di dimostrazione predominante nel nostro secolo. Beninteso, Hilbert ha proposto una variante in cui la concezione concreta di Pascal del metodo assiomatico è sostituita da una concezione astratta in cui gli assiomi in generale sono veri non di un singolo concetto ma di più concetti. Perciò per Hilbert la certezza dei principi non può più essere assicurata direttamente dall’intuizione ma solo indirettamente da una dimostrazione di coerenza basata sulla cosiddetta intuizione finitaria, cioè sull’intuizione concreta, spazio-temporale di Kant. Ma la variante di Hilbert della concezione di Pascal è stata confutata conclusivamente dal secondo teorema di incompletezza di Gödel in base a cui non si può dare alcuna dimostrazione finitaria della coerenza di sistemi matematici così fondamentali come la teoria dei numeri, l’analisi o la teoria degli insiemi. Questo alla fine convinse Gödel a ritornare alla concezione di Pascal e soprattutto all’idea che la certezza dei principi debba essere assicurata direttamente dall’intuizione.
Gödel suppone che vi sia una forma astratta di intuizione, che può dirsi infinitaria per distinguerla dall’intuizione finitaria di Hilbert, attraverso cui gli assiomi della teoria degli insiemici si impongono come veri. Secondo Gödel questo tipo di intuizione è sufficientemente chiara da produrre gli assiomi della teoria degliinsiemi e una serie aperta di loro estensioni. Inoltre continui appelli all’intuizione matematica sono necessari non solo per ottenere risposte nonambigue alle domande della teoria degli insiemi ma anche per risolvere problemi aperti della teoria finitaria dei numeri come la congettura di Goldbach. Dunque la concezione di Gödel è essenzialmente quelladi Pascal dove l’intuizione viene identificata con l’intuizione finitaria.
La concezione del mondo chiuso e quella del mondo aperto
La concezione di Gödel è plausibile? Apparentemente no, ironicamente a causa dei risultati di incompletezza di Gödel. Questo, tuttavia, non è il punto di vista comunemente accolto. Quello che può considerarsi il punto di vista comunemente accolto è espresso da Gödel nel modo seguente. È chiaro che il programma di sostituire l’intuizione matematica con regole per l’uso di simboli è fallito a causa dei risultati di incompletezza. Questo, però, non significa che dobbiamo rinunciare all’assunzione di Pascalche il metodo della matematica sia il metodo assiomatico ma solo che abbiamo bisogno di cogliere intuitivamente sempre nuovi assiomi. Ciòè essenziale per risolvere problemi della teoria degli insiemi, in cui questo cogliere intuitivo occorre perché, nonostante la loro lontananza dall’esperienza sensibile, noi abbiamo qualcosa che assomiglia auna percezione anche degli oggetti della teoria degli insiemi. Non vi è ragione di aver meno fiducia in questa intuizione che nella percezione sensibile attraverso cui noi costruiamo le teorie fisiche e ci aspettiamo che le percezioni sensibili future andranno d’accordo con esse. L’intuizione matematica di Gödel non è l’intuizione spazio-temporale di Kant ma è l’intuizione intellettuale, e si ottiene attraverso un processo che consiste nel concentrarsi più intensamente sui concetti in esame dirigendo su di essi l’attenzione in un certo modo. Questo produce in noi un nuovo stato di coscienza, in cui noi descriviamo in dettaglio i concetti fondamentali che usiamo nei nostri pensieri o afferriamo altri concetti fondamentali che finora ci erano ignoti.
La concezione di Gödel del ragionamento matematico appare insoddisfacente in quanto dipende da un’interpretazione piuttosto dubbia del significato dei risultati di incompletezza. Da un’analisi dettagliata del loro significato risulta che essi hanno le seguenti implicazioni:
1) lo sviluppo della matematica non può consistere nel dimostrare teoremi in un dato sistema formale;
2) lo sviluppo della matematica non può essere identificato con l’attività di un matematico idealizzato che considera una successione di teorie formali e le cui scelte di teorie sono determinate inmodo effettivo a ogni stadio;
3) lo sviluppo della matematica non può essere concentrato in un singolo sistema formale ma dev’essere distribuito tra più sistemi capaci di interagire;
4) i sistemi che formano l’ambiente distribuito non possono essere sistemi formali;
5) le interazioni tra i sistemi che formano l’ambiente distribuito non possono essere deterministiche.
Ma se i sistemi che formano l’ambiente distribuito non possono essere sistemi formali, che tipo di sistemi sono? L’unica risposta compatibile colprimo teorema di completezza di Gödel è che essi devono essere sistemi aperti. La distinzione tra i sistemi aperti e i sistemi chiusi può essere formulata nel modo seguente.
1) I sistemi chiusi. Un sistema chiuso è un sistema che non può scambiare informazione con l’ambiente e si basa sul metodo assiomatico, un metodo secondo cui dimostrare un teorema matematico significa dedurlo da assiomi dati solo mediante inferenze logiche. Come sottolinea Frege, da questo punto di vista i teoremi sono contenuti negli assiomi come le piante sono contenute nei semi. In generale l’intera matematica è contenuta nelle verità primitive come in un seme, e la nostra unica preoccupazione è di generare tutta la matematica da quel seme. Gli assiomi del sistema sono dati una volta per tutte e non possono cambiare nel corso della dimostrazione. Inoltre le dimostrazioni sono processi infiniti.
I sistemi formali sono l’esempio più tipico di sistemi chiusi, perciò è comprensibile che la nozione di sistema chiuso svolga un ruolo centrale nella logica matematica. Tale ruolo è reso più evidente da un’assunzione fondamentale, che può essere detta la “concezione del mondo chiuso”, secondo cui tutta la conoscenza matematica può essere rappresentata in termini di sistemichiusi. Hilbert giustifica tale assunzione affermando che il nostro intelletto procede solo secondo regole ben definite, le quali formano un sistema chiuso che può essere scoperto e formulato in modo definitivo. Formando un sistema chiuso, le regole del nostro intelletto possono essere catturate completamente dai sistemi formali della logica matematica, dove il gioco delle formule viene condotto secondo regole ben precise in cui si esprime la tecnica del nostro pensiero. Da tale punto di vista l’assunzione che le regole debbano essere complete sembra assolutamente naturale. Un sistema formale, essendo chiuso, non può usare informazione di altri sistemi per dimostrare alcunchè, perciò l’informazione contenuta implicitamente negli assiomi dev’essere adeguata per dimostrare tutte le proposizioni vere del dominio corrispondente.
Sembra corretto dire che la concezione del mondo chiuso sia stata confutata dai risultati di incompletezza di Gödel. Tale conclusione, però, non è accettata generalmente dalla logica matematica. Per esempio Gödel afferma che tutto ciò che è matematicoè formalizzabile, sebbene sia impossibile formalizzare tutta la matematica in un unico sistema formale. Curry afferma che l’essenza della matematica sta nel metodo formale in quanto tale. Kleene afferma che i risultati di Gödel non significano che noi dobbiamo rinunciare a porrel’accento sui sistemi formali. Le ragioni che fanno di un sistema formale l’unico modo accurato di dire esplicitamente quali assunzioni entrino nelledimostrazioni sono tuttora valide.
Tuttavia l’idea che tutto ciò che è matematico è formalizzabile, e che l’essenza della matematica è il metodo formalein quanto tale, sembra insostenibile perché, come si è già accennato, per i risultati di incompletezza di Gödel la matematica non può essere identificata con l’attività di un matematico idealizzato che considera una successione di teorie formali e lecui scelte delle teorie sono determinate in modo effettivo ad ogni stadio. Non sembra esserci altra alternativa che concludere che il primo teorema diincompletezza di Gödel confuta la concezione del mondo chiuso e che ilmetodo della matematica non può essere identificato col metodo assiomatico.
2) I sistemi aperti. Un sistema aperto è un sistema che non può scambiare informazione con l’ambiente e si basa sul “metodo analitico”, un metodo secondo cui risolvere un problema significa ridurlo ad altri che sono più facili o che si sa già essere alla propria portata. Il nuovo problema a cui il problema dato viene ridotto viene assunto temporaneamente come ipotesi, ma alla fine dev’essererisolto nello stesso modo, cioè riducendolo ad un altro problema temporaneamente assunto come ipotesi, e così via.
Il metodo analitico si basa su una nozione di dimostrazione alternativa a quella che sta alla base della concezione del mondo chiuso. A differenza degli assiomi, le ipotesi non sono date una volta per tutte e possono cambiare nel corso della dimostrazione come risultato di interazioni con altri sistemi. La ricerca di una soluzione è un processo potenzialmente infinito perchè ogni ipotesi costituisce un problema che dev’essere risolto. Risolverlo richiede l’ introduzione di una nuova ipotesi, e così via. Ogni nuova ipotesi stabilisce nuove connessioni tra il problema dato e altri problemi. Analizzare il problema non basta perrisolverlo poiché le ipotesi non sono contenute implicitamente nel dato problema e per trovarle occorrono conoscenze aggiuntive, cioè interazioni con altri sistemi di conoscenze.
In termini della nozione di sistema aperto possiamo formulare una “concezione del mondo aperto” secondo cui tutto il ragionamento matematico può essere rappresentato in termini di sistemi aperti. Ogni sistema aperto offre una rappresentazione parziale del dominio corrispondente e deve rivolgersi ad altri sistemi per ottenere l’informazione mancante richiesta. Importare informazione aggiuntiva da altri sistemi non si risolve in una semplice aggiunta cumulativa di dati mapuò comportare una radicale ristrutturazione del sistema, producendocambiamenti che sono globali e non semplicemente locali.
Riassumendo, mentre la concezione del mondo chiuso assume che tutta la conoscenza in un dato dominio possa essere rappresentata da un sistema chiuso basato sul metodo assiomatico, la concezione del mondo aperto assumeche essa possa essere rappresentata soltanto da più sistemi aperti che interagiscono e si evolvono continuamente e sono basati sul metodo analitico.
Il ruolo dell’induzione e dell’analogia
A differenza del metodo assiomatico, il metodo analitico fornisce uno schema generale del processo della scoperta. Questo è sottolineato soprattutto dai primi grandi scienziati moderni (Galilei, Descartes, Newton), che dichiarano di aver trovato i loro risultati mediante il metodoanalitico e di aver usato il metodo assiomatico solo per presentare i risultati già trovati. Per esempio, secondo Newton, le proposizioni dei suoi Principia sono state scoperte col metodo analitico. Ma, considerato che gli antichi non ammettevano alcunchè in geometria che non fosse già stato dimostrato col metodo assiomatico, Newton usa quest’ultimo per presentare ciò che egli aveva scoperto col metodo analitico, per renderlo geometricamente autentico e adatto al pubblico.
Ciò non significa che il metodo analitico sia la logica della scoperta matematica. Come il metodo assiomatico non è la logica della giustificazione ma è solo un oggetto di studio per essa, così il metodo analitico non è la logica della scoperta matematica ma è solo un oggetto di studio per essa. Per sviluppare una logica della scoperta matematica si deve integrare il metodo analitico con ciò che esso non dà, cioè con qualche indicazione sui processi mediante i quali si trovano le ipotesi. Anche qui la situazione è simile a quella del metodo assiomatico. Quest’ultimo definisce una certa nozione di dimostrazione ma non fornisce alcuna indicazione su come trovare una dimostrazione di un teorema dato a partire da assiomi dati. Nello stesso modo il metodo analitico definisce una certa nozione di dimostrazione ma non dà alcuna indicazione su come trovare le ipotesi per risolvere un problema dato.
Peirce sostiene che il processo attraverso cui si trovano le ipotesi è l’”abduzione”. L’abduzione è un’inferenza del tipo seguente: S osserva il fatto sorprendente C; ma se A fosse vero, allora C sarebbe un fatto naturale; perciò vi è ragione di sospettare che A sia vero. La spiegazione di Peirce è però insoddisfacente in quanto l’ipotesi A, che si suppone trovata attraverso essa, occorre già in una delle premesse dell’inferenza. Ciò contraddice il carattere creativo che Peirce attribuisce all’abduzione quando afferma che essa è l’unica operazione che introduce un’idea nuova. Perciò per chiarire il processo attraverso cui si trovano le ipotesi bisogna rivolgersi altrove.
Un potente strumento per trovare le ipotesi è l’induzione, tradizionalmente presentata come il ragionamento mediante il quale noi inferiamo che ciò che appartiene a tante cose quante ne abbiamo mai conosciute debba appartenere anche a tutte le altre cose appartenenti a quella stessa specie e genere. Mentre l’induzione è essenziale per scoprire le ipotesi non solo nelle scienze empiriche ma anche in matematica, il suo ruolo viene spesso messo in discussione. Per esempio Kant afferma che l’induzione è completamente opposta alle regole logiche. Essa, infatti, non soddisfa il requisito sulle inferenze logiche che esse debbano assicurare un carattere di necessità alla loro conclusione. Perciò le inferenze induttive non sono inferenze logiche ma solo presunzioni logiche o addirittura inferenze empiriche. La tesi di Kant non sembra plausibile se è intesa nel senso che l’induzione non può essere oggetto della logica, ma è plausibile se è intesa nel senso che l’induzione non è riducibile alla deduzione.
Kant non esclude che le inferenze induttive, mentre non assicurano alcun carattere di necessità alla loro conclusione, possano avere un ruoloeuristico. L’importanza di tale ruolo è stata riconosciuta da parecchi matematici, per esempio da Eulero che sottolinea che le proprietà dei numeri oggi note sono state scoperte per lo piùattraverso l’osservazione e molto tempo prima che la loro verità venisse confermata da una dimostrazione rigorosa. Vi sono addirittura molteproprietà dei numeri che noi ben conosciamo ma che non siamo ancora in grado di dimostrare; solo delle osservazioni ci hanno portato a conoscerle. Perciò nella teoria dei numeri, che è ancora molto imperfetta, noi possimo riporre le più alte speranze nelle osservazioni; esse ci condurranno continuamente a nuove proprietà che ci sforzeremo di dimostrare in seguito. Il ragionamento attraverso cui otteniamo una conoscenza che è sostenuta solo dall’osservazione e non è ancora stata dimostrata è l’induzione.
Un altro potente strumento per trovare le ipotesi è l’analogia. Secondo Laplace nelle scienze matematiche l’induzione e l’analogia sono i nostri strumenti principali per scoprire la verità. In particolare l’analogia svolge un ruolo essenziale nel metodo analitico, tanto che Leibniz afferma che tale metodo si fonda in grandissima parte sulle analogie. Lo schema generale del ragionamento analogico è: se due cose sono simili, allora dal fatto che una di esse ha una certa proprietà si può inferire che anche l’altra ha quella proprietà. Tale schema, però, è solo uno schema parziale perché lascia in sospeso che cosa debba intendersi per “simile”. Vi sono parecchie spiegazioni possibili della nozione di similarità per esempio: due cose sono simili quando hanno qualche (o molti) attributi in comune. Come suggerisce Kant, per questa nozione di similarità lo schema generale del ragionamento analogico dev’essere modificato nel modo seguente: se due cose concordano su tante proprietà quante ne abbiamo conosciute, allora possiamo inferire cheesse concordano anche sulle altre proprietà. In altri termini, noi inferiamo da alcune proprietà che noi conosciamo, che anche altre proprietà appartengono a quella stessa cosa.
Osservazioni conclusive
Nel nostro secolo la concezione tradizionale della dimostrazione (secondo cui la matematica dev’essere rappresentata in termini di sistemi chiusi basati sul metodo assiomatico, i cui principi sono colti dall’intuizione e i cui teoremi sono dedotti da essi mediante il ragionamento) è stataadottata dalla logica matematica ed è diventata standard. Sembra corretto dire che tale concezione è stata confutata conclusivamente dai risultati di incompletezza di Gödel. Essi implicano che la concezione del mondo chiuso dev’essere sostituita da una concezione del mondo aperto secondo cui l’attività matematica dev’essere rappresentata in termini di sistemi aperti che interagiscono e si evolvono continuamente, e sono basati sul metodo analitico. Nella concezione del mondo aperto le ipotesi non sono colte mediante l’intuizione ma sono ottenute attraverso un certo numero di processi tra cui l’induzione e l’analogia svolgono un ruolo centrale.
La concezione del mondo chiuso (che nel nostro secolo è stata fortemente sostenuta da numerosi pensatori, non solo logici ma anche filosofi e scienziati, quali Popper e Einstein) offre un approccio alquantoirrazionalistico alla conoscenza matematica in quanto assume che la scoperta matematica non richiede un’analisi logica né è suscettibile di una tale analisi. Secondo quanto dice Popper, nella concezione del mondo chiuso ogni scoperta contiene un elemento irrazionale,o un’intuizione creativa nel senso di Bergson. O, secondo quanto dice Einstein, non esiste alcuna via logica che porti alle leggi scientifiche fondamentali, le quali possono essere raggiunte solo attraverso l’intuizione e si basano su qualcosa di simile a una comprensione simpatetica.
Al contrario, dal punto di vista della concezione del mondo chiuso, la matematica è un’attività completamente razionale in cui il processo della scoperta si sviluppa attraverso interazioni tra parecchi sistemi aperti, che si evolvono continuamente e sono basati sul metodo analitico. I problemi matematici sono risolti trovando ipotesi non per mezzo dell’intuizione ma attraverso un certo numero di processi razionali tra cui l’induzione e l’analogia svolgono un ruolo centrale. In questo modol’oscuro operare dell’intuizione nella concezione del mondo chiuso viene sostituito dall’operare interamente razionale dell’induzione e dell’analogia nella concezione del mondo aperto.
(Traduzione di Flavia Castellano)
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